q-Analoga von designs
Projektleiter: Prof. Dr. Reinhard LaueProf. Dr. Adalbert Kerber
Geldgeber: DFG
Projektbeschreibung: Es werden q-Analoga von t-Designs sowie von Blockcodes (also u.a. p-Gruppen und lineare Codes) systematisch konstruiert und klassifiziert. Dabei findet als Methode die Vorgabe von Automorphismengruppen Verwendung. Hierzu bedarf es insbesondere einer genauen Untersuchung linearer Gruppen auf deren algorithmische Verwendbarkeit.
Ziel ist die algorithmische Weiterentwicklung der Konstruktion und Klassifikation diskreter Strukturen in linearen Verbänden, wie q- Analoga von Designs, projektive Geometrien sowie lineare Codes} und mittels Iteration bei Faktoren freier Gruppen auch von p-Gruppen. Die Konstruktion soll insbesondere mit Methoden vorangetrieben werden, bei denen eine Automorphismengruppe vorgeschrieben wird, denn dies ermöglicht eine enorme Datenreduktion, wie sich bereits gezeigt hat, beispielsweise bei der Konstruktion des weltweit ersten 7-Designs mit kleinen Parametern, die durch Reduktion der Anzahl der Matrixelemente um den Faktor 10^10 erst möglich wurde. Bei dieser Konstruktion sollen daher zunächst Operationen linearer Gruppen (d.h. Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe GL(n,q)) auf dem linearen Verband (der Menge der Untervektorr\"aume von GF(q)^n) untersucht und implementiert werden. Danach sollen q-Analoga kombinatorischer Designs systematisch konstruiert und klassifiert werden. Dabei wird die Kramer-Mesner-Methode verwendet, die auch bei der Konstruktion von herkömmlichen Designs verwendet wird. Anschließend werden wir uns der Konstruktion von linearen Codes zuwenden, indem wir äquivalente Strukturen in projektiven Geometrien konstruieren, so genannte Minihypers. Es ist anzunehmen, dass auf diese Weise --- wie bereits erfolgreich exemplifiziert --- weitere neue optimale Codes konstruiert werden können.