Ganzzahlige Punktmengen über endlichen Körpern
Projektleiter: PD Dr. Axel KohnertProjektstart: 01.10.2006 Projektende: 09.07.2009
Projektmitarbeiter: Externe Partner: Dr. Harald Meyer (Universität Bayreuth, LS Mathe IV)
Prof. Dr. Stancho Diemiev (Bulgarian Academy of Sciences)
Geldgeber: Deutsche Forschungsgemeinschaft, Bulgarian Academy of Sciences
Projektbeschreibung:
Seit Jahrhunderten beschäftigen sich Mathematiker mit geometrischen Objekten mit ganzzahligen Seitenlängen und Diagonalen. So gibt es auch allgemein im d-dimensionalen Euklidischen Raum den Begriff einer ganzzahligen Punktmenge. Dies ist einfach eine Menge von Punkten mit paarweise ganzzahligen Abständen. Mit solchen Punktmengen habe ich mich im Rahmen meiner Dissertation und der Folgezeit beschäftigt, siehe das zugehörige Projekt. Dieses Gebiet liegt zwischen den Gebieten Kombinatorik, Geometrie und Zahlentheorie.
Allgemein ist es sehr interessant geometrische Konzepte aus den gewohnten Euklidischen Räumen in endliche Geometrien beispielsweise über endlichen Körpern zu übertragen. Hier kann man ebenfalls zu zwei Punkten einen quadrierten Euklidischen Abstand definieren. Wir sagen, dass der Abstand zwischen den zwei Punkten genau dann ganzzahlig ist, wenn der quadrierte Abstand ein Quadrat über den Grundkörper ist.
Beschreibung
Für einen vorgegebenen endlichen Körper GF(q) und eine vorgegebene Dimension d soll jeweils die maximale Kardinalität einer ganzzahligen Punktmenge über GF(q)^d bestimmt werden und die maximalen Beispiel bis auf Isomorphie klassifiziert werden. Zusätzlich werden weitere aus der endlichen Geometrie bekannte weitere Einschränkungen betrachtet, wie dass keine drei Punkte auf einer Geraden liegen dürfen (semi-allgemeine Lage), oder keine vier Punkte auf einem gemeinsamen Kreis liegen dürfen (allgemeine Lage, falls beide Bedingungen gelten). Es zeigen sich einige Parallelen zu ganzzahligen Punktmengen in den Euklidischen Räumen.
Ganzzahlige Punktmengen über endlichen Ringen
Die selben Betrachtungen kann man natürlich auch über endlichen kommutativen Ringen mit 1 anstellen. Hier werden die theoretischen Hilfsmittel natürlich etwas schwächer. Gewisse Grundstrukturen bleiben aber erhalten.
Zusammenhänge mit anderen Gebieten
Die Fragestellungen sind eng verwandt mit Payleygraphen, "Elements in GF(q) whose distances are squares" and Quadrance Graphs.